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利用樹形圖解決排列組合問題


王必挺

  排列組合是高考必考知識點之一,由于這部分知識內容抽象、解法靈活,學生在解題過程中易出現重復或遺漏的情況,課堂教學中,教師通常注重對一些常規方法的講解,如捆綁法、插空法、隔板法等,往往忽視一些非常規的方法.樹形圖是處理排列組合問題的一種行之有效的方法,它能直觀地把各種情況不重復、不遺漏地表示出來,在解題中常會收到意想不到的效果.下面舉例說明樹形圖在排列組合問題中的應用.

  例1假定有一排蜂房,形狀如圖,一只蜜蜂在左下角,由于受了傷,只能爬,不能飛,而且只能永遠向右(包括右上、右下)爬行,從一間蜂房爬到與之相鄰的右蜂房中去,從最初位置爬到4號蜂房有幾種不同的爬法?

  分析與解答此題按常規方法很難處理,爬行路線畫樹形圖如下:

  故有8種爬法.

  例2三種作物種在如圖所示的五塊試驗田里,每塊試驗田種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物,不同的種植方法共有多少種?

  分析與解答本題難點:①同種作物不同鄰

  ②三種作物種完,記三種作物分別為a,b,c,1號試驗田種植a作物的樹形圖如下:

  以上共14種,故所求答案為14×3=42種.

  例3設abcdef為正六邊形,一只青蛙開始在頂點a處,它每次可隨意地跳到相鄰兩個頂點之一,若在5次內跳到d點,則停止跳動;若5次之內不能到達d點,則跳完5次也停止,那么這只青蛙從開始到停止,可能出現的不同跳法共有多少種?

  分析與解答先用樹形圖表示從a到b的情況:

  以上有13種,同理從a到f也有13種,故答案為26種.

  例4a,b,c,d四人互相傳球 ,每次將球傳另外一人,由a開始先傳,問傳了4次以后又回到a 的傳法有多少種?

  分析與解答a先傳到b的情況的樹形圖如下:

  以上有7種.同理,a先傳到c,a先傳到d也都有7種,答案共有3×7=21種.

  例5按一次電視機遙控器上的電源開關,電視機可能出現以下三種情況:

  ①由原來的關機狀態轉為開機狀態;②由原來的開機狀態轉為關機狀態;③電視機保持原來的狀態不變,一臺電視機處于關機狀態時,某人連續按了4次電源開關,結果使電視轉為開機,則他所按4次中可能發生的所有情況種數為多少?

  分析與解答對開關情況畫樹形圖如下:

  可見共有8種情況.

  注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以pdf格式閱讀原文。


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